☛ ** Trois points sont-ils alignés ?

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(\text{A}(6;-3)\), \(\text B(8;0)\) et \(\text C (-6;-21)\).
Les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont-ils alignés ?

Solution

On a \(x_{\text A} \neq x_{\text B}\) et \(x_{\text A} \neq x_{\text C}\) donc les droites  \((\text{AB})\) et \((\text{AC})\) ne sont pas parallèles à l'axe des ordonnées. Dire que les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont alignés revient à dire que les coefficients directeurs des droites \((\text{AB})\) et \((\text{AC})\) sont égaux.

On a \(m_{(\text{AB})} = \dfrac{y_{\text{B}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{3}{2}\) et \(m_{(\text{AC})} = \dfrac{y_{\text{C}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{C}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{-18}{-12} =\dfrac{3}{2}\).

Donc \(m_{(\text{AB})} = m_{(\text{AC})}\).
Par conséquent, les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont alignés.

Énoncé Un cas particulier

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(\text{A}(5;-3)\), \(\text B(5;0)\) et \(\text C (5;-21)\).
Les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont-ils alignés ?

Solution

On a \(x_{\text A} = x_{\text B} =x_{\text C} = 5\) donc les points  \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) appartiennent à la droite d'équation \(x=5\) et sont alignés.